An Edge-Signed Generalization of Chordal Graphs, Free Multiplicities on Braid Arrangements, and Their Characterizations

In this article, we propose a generalization of the notion of chordal graphs to signed graphs, which is based on the existence of a perfect elimination ordering for a chordal graph. We give a special kind of filtrations of the generalized chordal graphs, and show a characterization of those graphs. Moreover, we also describe a relation between signed graphs and a certain class of multiarrangements of hyperplanes, and show a characterization of free multiarrangements in that class in terms of the generalized chordal graphs, which generalizes a well-known result by Stanley on free hyperplane arrangements. Finally, we give a remark on a relation of our results with a recent conjecture by Athanasiadis on freeness characterization for another class of hyperplane arrangements. Résumé. Dans cet article, nous proposons une généralisation de la notion des graphes triangulés à graphes signés, qui est basé sur l’existence d’un ordre d’élimination simplicial à un graphe triangulé. Nous donnons un genre spécial de filtrations des graphes triangulés généralisés, et montrons une caractérisation de ces graphes. De plus, nous décrivons aussi une relation entre graphes signés et une certaine classe de multicompositions d’hyperplans, et montrons une caractérisation de multicompositions libres dans cette classe en termes des graphes triangulés généralisés, qui généralise un résultat célèbre de Stanley sur compositions libres d’hyperplans. Finalement, nous donnons une remarque sur une relation de nos résultats avec une conjecture récente d’Athanasiadis sur une caractérisation du freeness d’une autre classe de compositions d’hyperplans.